Tarea 1 de Tercer Parcial Regla de Cramer y Eliminación de Gauss
Hola Profesor Alex buenas tardes.
La eliminación gaussiana 16/07/2025
Entiendo por eliminación de Gauss, que es un algoritmo que se usa para resolver sistemas de
ecuaciones lineales o se (x), se escribe la matriz aumentada que consta de escribir los valores de cada variable este sistema es una forma
escalonada por filas por medio de operaciones elementales de fila. Este método
nos ayuda a simplificar el sistema de ecuaciones y ayuda a encontrar soluciones, ya sea de forma única, infinita o ninguna solución.
Representación matricial:
Matriz aumentada, donde las filas corresponden a las ecuaciones y las columnas a los coeficientes de las variables, con columna de términos independientes.
Escalonamiento de la matriz
se operan filas ya sea suma, multiplicación según se necesite en el intercambio de
filas, la
multiplicación de una fila por un escalar no nulo, suma de un múltiplo
de una fila a otra) para transformar la matriz en forma escalonada por filas.
Forma escalonada:
La forma escalonada se caracteriza por tener todos los elementos debajo de la diagonal principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha) iguales a cero.
Una vez en forma escalonada, se puede resolver el sistema
utilizando sustitución hacia atrás, comenzando por la última ecuación y
avanzando hacia las primeras, para encontrar los valores de las variables.
Operaciones elementales de fila:
- Intercambio
de filas: Se intercambian dos filas de la
matriz.
- Multiplicación
de una fila por un escalar: Se multiplica una
fila por un número no nulo.
- Suma
de un múltiplo de una fila a otra: Se suma a una fila
un múltiplo de otra fila.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Código
2x + y - z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
La matriz aumentada correspondiente sería:
Código
[ 2 1 -1 | 8 ]
[ -3 -1 2 | -11]
[ -2 1
2 | -3 ]
Aplicando eliminación gaussiana, se llegaría a una matriz
escalonada, por ejemplo:
Código
[ 1 1/2 -1/2 | 4 ]
[ 0 1
-1/2 | 1 ]
[ 0 0
1 | 3 ]
Finalmente, por sustitución hacia atrás, se obtendrían los
valores de x, y, y z.
Regla de Cramer
Entiendo por método de Cramer en el sistemas 3x3 que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales donde hay tres ecuaciones y tres incógnitas, siempre y cuando el determinante sea distinto de cero. Este método se basa en el cálculo de determinantes de matrices.
Representación matricial: Se expresa el sistema de ecuaciones en forma matricial, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de incógnitas (x, y, z) y B es la matriz de términos independientes.
- Cálculo del determinante
principal:
Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. Si este determinante es cero, el método de Cramer no se puede aplicar y el sistema puede ser incompatible (sin solución) o indeterminado (infinitas soluciones).
- Cálculo de determinantes
para cada incógnita:
Se sustituye la columna correspondiente a esa
incógnita en la matriz A por la matriz B, y se calcula el determinante de la
nueva matriz resultante. El resultado son las determinantes A1, A2 y A3
para las incógnitas x, y, y z respectivamente.
se aumentan dos filas en la parte de abajo y se multiplican hacia la derecha.
= -1+9+4
se aumentan dos filas en la parte de abajo y se multiplican hacia la izquierda y se realizan las operaciones
A continuación se aumentan las dos filas en la parte de abajo para la delta X
se aumentan dos filas en la parte de abajo y se multiplican hacia la derecha para delta X
Se realizan las operaciones
se realizan las operaciones resultados de las operaciones de la derecha menos las operaciones resultados de las operaciones de la izquierda
Seguimos con el aumento de las dos filas en la parte de abajo para la delta Y
se realizan las operaciones resultantes de las multiplicaciones en diagonal de la derecha para delta Y
Continuamos con las operaciones resultantes de las multiplicaciones en diagonal de la derecha menos los de la izquierda para delta Y
- Solución:
Finalmente, se
divide cada determinante de las incógnitas (A1, A2, A3) entre el determinante
principal (A) para obtener los valores de las incógnitas x, y, y z.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única.
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
La regla de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados (con una única solución) mediante el cálculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3.
Recordad que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
AX=B
Donde
A es la matriz de coeficientes del sistema,
X es la matriz con las incógnitas,
B es la matriz con los términos independientes de las ecuaciones.
Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante distinto de 0).
La regla de Cramer establece que la incógnita xk de la solución del sistema, cuyos coeficientes están en la columna k de A, es
Donde Ak es como la matriz A pero cambiando su columna número k por la columna de términos independientes B.
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:
1. Hallar la matriz ampliada (A|b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.
2. Calcular el determinante de A.
3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;
b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;
c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible determinado
Referencias:
Matrices metodo de eliminacion de Gauss
Comentarios
Publicar un comentario