La derivada del Euler y logaritmo natural

 La derivada del Euler y logaritmo natural

Que es la derivada de euler? es la derivada de la función exponencial con base 'e', es decir, la derivada de e^x,  es la función donde la variable independiente X aparece en el exponente como e^x donde la base es la "e" y la x es la función de x F(x), la derivada de de e^x es simplemente e^x

Derivada de la función exponencial de base a

La derivada de la función exponencial de base a es igual al producto de la función por el logaritmo neperiano de la base de la potencia por la derivada del exponente.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Por ejemplo, la derivada de la siguiente función exponencial es:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es equivalente al producto de la misma función por la derivada del exponente.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Por ejemplo, la derivada del número e elevado a 4x es:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Fórmula de la derivada exponencial

Como hemos visto, la derivada de una función exponencial depende de su base. Y las dos fórmulas que se utilizan para derivar las funciones exponenciales son las siguientes:

derivada exponencial


Derivada exponencial de e a la x

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la derivada exponencial, vamos a analizar el caso de la derivada de e a la x, ya que es un caso curioso.

La derivada de la función e a la x siempre da como resultado la propia función, es decir, no importa cuantas veces derivemos la función ex que siempre conseguiremos la misma función.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

Esta propiedad de la función e elevada a x se debe a que la derivada de x es 1. Por lo tanto, al hacer la derivación siempre multiplicamos la propia función por 1 y, en consecuencia, siempre obtenemos la función original como resultado.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x


Derivada de una función logarítmica

Derivada de un logaritmo natural o neperiano

La derivada de un logaritmo natural (o logaritmo neperiano) es el cociente de la derivada del argumento del logaritmo dividido entre la función del argumento.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Lógicamente, si la función dentro del logaritmo es la función identidad, en el numerador de la derivada queda un 1:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que se resuelve la derivada del logaritmo natural de 3x:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Recuerda que el logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número e (número de Euler).

\ln(x)=\log_e(x)

Derivada de un logaritmo en base a

La derivada de un logaritmo en cualquier base es igual a 1 partido por el producto de x por el logaritmo natural de la base del logaritmo original.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

De manera que si aplicamos la regla de la cadena, la regla de la derivada logarítmica queda:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Por ejemplo, la derivada del logaritmo en base 2 de x al cuadrado es:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Fórmula de la derivada de una función logarítmica

derivada de una funcion logaritmica



la derivada de Euler

Derivada logaritmica

exe raised to the exponent x end-exponent

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