Tarea de Solución de ecuaciones lineales a partir de la matriz inversa

 Solución de Ecuaciones lineales a partir de la matriz inversa.

Hola Profesor buenas tardes.

Entendí que para  encontrar la solución de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa se tiene que representar por medio del sistema de ecuaciones como una ecuación como matriz y luego multiplicar ambos lados por la matriz inversa de la matriz de coeficientes. 

Este método se utiliza cuando la matriz de coeficientes se puede invertir y su determinante no es cero. 

Pasos: primero revisar que el resultado no sea 0.

1. Representación de matriz:

Expresar el sistema de ecuaciones lineales como una ecuación de la forma AX = B, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de incógnitas y B es la matriz de términos constantes.

2. Calcular  la Inversa:

Hallar la matriz inversa de A, denotada como A⁻¹, siempre que A sea invertible.

3. Multiplicación por la Inversa:

Multiplicar ambos lados de la ecuación matricial por A⁻¹ en el mismo orden: A⁻¹AX = A⁻¹B.

4. Solución:

Dado que A⁻¹A es la matriz identidad (I), y IX = X, la solución del sistema es X = A⁻¹B.

Y esto fue lo que investigue:

Método de la matriz inversa Los sistemas de ecuaciones lineales 

se pueden escribir como una ecuación matricial, de forma que cualquier sistema lo escribiremos como AX=B, donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la matriz de términos independientes.

Conocer las propiedades del cálculo de las matrices puede ayudarnos a resolver un sistema de ecuaciones lineales sin más que aplicar las operaciones correctamente.

Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a resolver la ecuación matricial AX=B

¿Cómo se resuelve esta ecuación? Como sabemos, no está definida la operación división entre matrices, por lo tanto, debemos buscar la manera de despejar la X de la ecuación sin usar la división. La definición del elemento inverso soluciona el problema, veamos cómo:

 

Importante que:

·    Si A -1 es el elemento inverso de A, tenemos que AA-1 =A1 A=I donde I es la matriz identidad.

·    El producto de matrices no es conmutativo.

  

Teniendo en cuenta las dos observaciones anteriores, la solución de la ecuación será:

 Este método nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales calculando la matriz inversa y multiplicando por la matriz de términos independientes.

 Observaciones Veamos algunas observaciones que hay que tener en cuenta antes de aplicar este método:

El método sólo puede aplicarse si se puede calcular la matriz inversa de la matriz de coeficientes. Una matriz es invertible si es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Eso implica que el sistema de ecuaciones lineales debe ser compatible determinado y tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

El método de la matriz inversa resulta muy útil si tenemos que resolver varios sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma matriz de coeficientes, pero distintos términos independientes.

Es posible resolver un sistema compatible determinado con más ecuaciones que incógnitas mediante este método. Para aplicarlo primero hay que identificar las ecuaciones que son linealmente dependientes de las demás. Si las eliminamos, nos quedamos con un sistema compatible determinado con matriz de coeficiente cuadrada con determinante no nulo.

Una pequeña trasformación también permite aplicar este método a sistemas compatibles indeterminados. Veremos este procedimiento mediante un ejemplo.

 

Ejemplo:

Resolveremos el siguiente ejemplo mediante el método de la matriz inversa: Calculamos la matriz de coeficientes y su determinante:

 Como el determinante es distinto de cero el rango de A es 3 que coincide con el de la matriz ampliada, por lo que el sistema es compatible. Además, como es igual al número de incógnitas el sistema es compartible determinado (solución única). Estamos en las condiciones de aplicar el método de la matriz inversa. Para ello escribimos el sistema en forma matricial.

PDF

Video